Courbes elliptiques
TBD
- Utilisées pour les problèmes de logarithmes discret
- Ils permettent d'avoir des clés bien plus petite. https://www.youtube.com/watch?v=A2KNrgiWquU&list=PLYpVTXjEi1oe1OeAllJpNhFoI4B7Ws8Yl
L'équation générale d'une courbe elliptique :
$$
y^2 + a_1 x \cdot y + a_3 \cdot y= x^3 + a_2\cdot x^2 + a_4\cdot x + a_6
$$
Avec les $a_i$ pris dans un corps.
Si on utilise le corps des réels, on peut utiliser l'équation de Weierstrass pur simplifier Forme de Weierstrass :
$$
y^2 = x^3 + a\cdot x^2 + b\cdot x
$$
TBD forme de Weierstrass
La courbe utilisée généralement en cryptographie est la Curve25519 :
$$
y^2 = x^3 + 486662\cdot x^2 + x
$$
Où les nombres sont pris dans le corps fini $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, avec $p=2^{255} - 19$, le plus grand entier signé premier sur 256b (le dernier bit est un bit de signe).
Les éléments considérés sont les couples $(x, y)$ de la courbe où $x$ et $y$ sont dans le corps sous-jacent.
TBD : définition de l'addition sérieusement on se place dans le groupe avec l'addition. compter les points d'une courbe elliptique