Reconnaissance d'un tableau trié

Définissions le problème de décision associé au problème de savoir si oui ou non un tableau d'entiers est trié :

Il existe un algorithme très simple pour le résoudre.

Algorithme

algorithme est_trie(T: [entier]) → booléen:

    pour chaque i de [1, T.longueur[:
        si T[i] < T[i-1]:
            rendre Faux
    rendre Vrai

Tests de Fonctionnement

L'algorithme rend bien :

• Vrai pour est_trie([42])
• Faux pour est_trie([4, 2])
• Vrai pour est_trie([2, 4])

Preuve

La finitude de l'algorithme est claire puisqu'il n'y a qu'une boucle for avec autant d'itérations que la taille du tableau passé en paramètre.

La preuve va être aisée si l'on démontre l'invariant suivant :

1. à la fin de la première itération, si l'on est pas sorti de la boucle c'est que $T[i] \geq T[i-1]$ pour $i=1$ : les 2 premiers éléments du tableau sont bien triés.
2. Si l'invariant est vrai à la fin de l'itération $i-1$, à la fin de l'itération $i$ on à $T[i] \geq T[i-1]$ et comme les $i + 1$ premiers éléments du tableau sont triés : les $i + 1$ premiers éléments du tableau sont triés.

Au final :

• L'invariant prouve que : si on arrive à la ligne 6 de l'algorithme c'est que les $n$ premiers éléments du tableau sont triés.
• si on utilise le retour de la ligne 5 c'est qu'il existe $i$ avec $T[i] < T[i-1]$, donc $T$ ne peut être trié.

Complexité

Ligne à ligne :

1. définition de la fonction $\mathcal{O}(1)$
2. —
3. une boucle for de $k$ itérations
4. un tests de deux valeurs dans un tableau : $\mathcal{O}(1)$
5. un retour de fonction $\mathcal{O}(1)$
6. un retour de fonction $\mathcal{O}(1)$

Que l'on sorte par le retour de la ligne 5 ou 6, le complexité est : $\mathcal{O}(k)$. Dans le cas le pire, on parcourt tout le tableau, donc :

Complexité du problème de la reconnaissance

Comme toute case du tableau peut rendre le tableau non trié, on utilise l'argument de la complexité du problème de la "recherche", un algorithme résolvant ce problème doit considérer toutes les cases du tableau et donc une borne min du problème "est trié ?" est $\Omega(n)$ où $n$ est la taille du tableau en entrée. Comme la complexité de est_trie est de $\mathcal{O}(n)$. On en conclut :