Courbes elliptiques

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TBD

Utilisées pour les problèmes de logarithmes discret

Ils permettent d'avoir des clés bien plus petite. https://www.youtube.com/watch?v=A2KNrgiWquU&list=PLYpVTXjEi1oe1OeAllJpNhFoI4B7Ws8Yl https://martin.kleppmann.com/papers/curve25519.pdf https://rareskills.io/post/elliptic-curves-finite-fields L'équation générale d'une courbe elliptique :

$$ y^2 + a_1 x \cdot y + a_3 \cdot y= x^3 + a_2\cdot x^2 + a_4\cdot x + a_6 $$

Avec les $a_i$ pris dans un corps.

Si on utilise le corps des réels, on peut utiliser l'équation de Weierstrass pour simplifier Forme de Weierstrass :

$$ y^2 = x^3 + a\cdot x^2 + b\cdot x $$

TBD forme de Weierstrass

bernstein : https://en.wikipedia.org/wiki/Montgomery_curve bien pour doubler

La courbe utilisée généralement en cryptographie est la Curve25519 :

$$ y^2 = x^3 + 486662\cdot x^2 + x $$

Où les nombres sont pris dans le corps fini $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, avec $p=2^{255} - 19$, le plus grand entier signé premier sur 256b (le dernier bit est un bit de signe).

Les éléments considérés sont les couples $(x, y)$ de la courbe où $x$ et $y$ sont dans le corps sous-jacent.

TBD : définition de l'addition sérieusement on se place dans le groupe avec l'addition. https://repo.tzku.at/course/cryptography/CryptoAvancee.pdf https://ritzenth.pages.math.cnrs.fr/web/teaching.html compter les points d'une courbe elliptique

TBD bernstein [n]P pafile et c'est ce qu'on veut faire.